Różne problemy matematyczne

Geometria i trygonometria

1. Na płaszczyźnie dane są trzy koła $B((x_i,y_i),r_i)$, których brzegi przecinają się łącznie w sześciu punktach, z czego dokładnie trzy punkty przecięcia należą do dokładnie dwóch z tych kół. Skonstruuj koło wpisane o największym promieniu wpisane w sumę tych kół. Uzasadnij poprawność konstrukcji, rozważając możliwe przypadki.

2. Czy istnieje układ siedmiu punktów i siedmiu prostych na płaszczyźnie o tej własności, że przez każdy punkt przechodzą dokładnie trzy proste? Jeżeli tak, podaj przykład, jeżeli nie – uzasadnij.

3. Niech $\left|\sin x-p\cos x-q\right|\leqslant\frac{\sqrt{2}-1}{2}$ dla $0 \leqslant x \leqslant\tfrac{\pi}{2}$. Znajdź możliwe wartości $p+q$.

4. Znajdź wszystkie wartości parametru $a\in\mathbb{R}$ różne od zera, dla którego nierówność $$a\sin x-\tfrac{1}{2}\cos 2x+a\leqslant \tfrac{3}{a}-\tfrac{1}{2}$$ jest spełniona dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

5. Rozwiąż wśród liczb naturalnych równanie: $$\operatorname{arcctg} k + \operatorname{arctg} n + \operatorname{arctg} m = \pi.$$ Rozważ interpretację geometryczną tego równania.

Granice i szeregi

1. Udowodnij, że $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)=\frac{\pi}{2}.$$

2. Wyznacz wartość poniższej granicy: $$\lim_{n\to\infty} e^{-n} \left(1+\frac{n}{1!}+\frac{n^2}{2!}+\frac{n^3}{3!}+\ldots+\frac{n^n}{n!}\right).$$

3. Oblicz sumę odwrotności wszystkich liczb naturalnych, które mają dokładnie trzy dzielniki pierwsze: $2$, $3$ oraz $5$.

4. Oblicz następującą sumę szeregu: $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!\,2^n}\cos\frac{\pi n-1}{2}.$$

5. Udowodnij następującą równość: $$\tfrac{1}{2}-\tfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}+\tfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}-\tfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 14}+\ldots=\sqrt{1-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}.$$

6. Wykaż, że zachodzi poniższa tożsamość: $$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\zeta(6n-2)-1\right)=-\zeta(-1),$$ gdzie $\zeta$ jest funkcją dzeta Riemanna.

7. Wykaż poniższą równość: $$\sum _{n=1}^{\infty } \frac{H_n}{n!}=\sum _{n=1}^{\infty } -\frac{(-1)^n \cdot e}{n \cdot n!},$$ gdzie $H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.

8. Wykaż, że dla $p>1$ zachodzi poniższa nierówność: $$\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{(n+1)\sqrt[p]{n}}}< p.$$

9. Udowodnij, iż wielomian $x^{2^n}+1$ ma poniższą postać kanoniczną dla $n\in\mathbb{N}$: $$x^{2^n}+1=\prod_{i=1}^{2^{n-1}} \left(x^2+2 x \left[\cos \left(\frac{\pi (4 i-3)}{2^n}\right)\right]+1\right).$$

Różne

1. Wykaż, że $2^{n-1}|n!$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest postaci $2^k$ dla pewnego $k$ naturalnego.

2. Jest dana maszyna o matrycy posiadającej $N$ pikseli. W każdym kroku maszyna ta zapełnia jeden losowy piksel (każdy z jednakowym prawdopodobieństwem), jednakże może wybrać ten, który został już zapełniony. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po $n$ krokach cały ekran zostanie zapełniony, tj. każdy z $N$ pikseli będzie wypełniony?