Wstęp

Poniższy skrypt zawiera, a przynajmniej próbuje, podstawowe (i przy okazji elementarne) wprowadzenie do teorii kategorii jako języka opisującego struktury matematycznego oraz wzajemne relacje pomiędzy nimi. Celem tych notatek jest oswojenie Czytelnika z podstawowym pojęciami oraz metodami (algebraicznymi) tej poddziedziny matematyki. O samych kategoriach możemy myśleć jako strukturach, które składają się z pewnych obiektów i przekształceń między nimi, które zachowują cechy rozważanych obiektów. Teorię tę można traktować z jednej strony jako pewien matematyczny framework (środowisko matematyczne) dla badanych struktur, z drugiej jednak – formę abstrakcji podstawowych, ogólnych własności pojęć, które współdzielone są, mutatis mutandis, z innymi, pozornie niezwiązanymi ze sobą, strukturami matematycznymi.

Zakładać będziemy, że Czytelnik zaznajomiony jest z podstawowymi strukturami matematycznymi: grupami, przestrzeniami liniowymi czy przestrzeniami topologicznymi – dowiemy się niebawem, że wraz ze swoimi homomorfizmami tworzą one kategorie.

Historycznie rzecz ujmując, za początek teorii kategorii uznaje się rok 1945 – datę opublikowania pracy Samuela Eilenberga oraz Saundersa MacLane'a Natural isomorphisms in group theory, a rozważania z tego zakresu wyrosły z topologii algebraicznej, która zajmuje się badaniem własności przestrzeni topologicznych przy użyciu metod algebraicznych. Należy mieć na uwadze, że od tego czasu pewne pojęcia z tego zakresu uległy przeobrażeniu – z dzisiejszego punktu widzenia nawet późniejsza praca Categories for the Working Mathematician (również autorstwa MacLane'a) przez niektórych może być uznawana za przestarzałą. Poniższy skrypt w głównej mierze bazuje na znacznie świeższej książce – Abstract and Concrete Categories. The Joy of Cats Adámka, Herrlicha i Streckera.

W tym skrypcie znajduje się wiele faktów do sprawdzenia jako ćwiczenie. Autor jest przekonany, że utrwalanie elementarnych definicji, własności i faktów teorii kategorii wymaga praktyki i samodzielnego wysiłku. Nie zmienia to faktu, iż szablonowe rozumowania, na których można się wzorować, są przedstawione w pełni bez niedomówień.

Kurs ten obejmuje (w zamierzeniu):