Funktory, diagramy, granice

Typy funktorów

Tak jak w przypadku morfizmów, można mówić o pewnych szczególnych własnościach funktorów. Rozpoczniemy od funktorów w całości zachowujących strukturę kategorii.

Definicja 2.3.1. Funktor $F\colon{\bf C}\to{\bf D}$ nazywamy izomorfizmem kategorii, jeżeli istnieje funktor $G\colon{\bf D}\to{\bf C}$ spełniający $$\quad G\circ F={\bf \operatorname{id}}_{{\bf C}}, \quad F\circ G={\bf \operatorname{id}}_{{\bf D}}.$$

Jak można się spodziewać, funktor $G$ występujący w powyższej definicji jest określony jednoznacznie, stąd możemy przyjąć oznaczenie $G=F^{-1}$. Kategorie ${\bf C}$ oraz ${\bf D}$, dla których istnieje izomorfizm, nazywamy izomorficznymi i stosujemy zapis ${\bf C}\cong {\bf D}$.

Stwierdzenie 2.3.1. Niech ${\bf Mat}_K$ stanowi kategorię złożoną z liczb naturalnych, gdzie $\operatorname{Hom}(m,n)$ jest zbiorem wszystkich macierzy $m\times n$ nad ciałem $K$, $\operatorname{id}_n\colon n\to n$ jest macierzą jednostkową wymiaru $n\times n$, gdzie złożenie $A\circ B$ definiowane jest jako iloczyn macierzy $BA$. Kategoria ta jest izomorficzna z kategorią ${\bf FinVec}_K$ skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad ciałem $K$.

DOWÓD. Utworzymy funktor $F\colon{\bf Mat}_K\to{\bf FinVec}_K$ w następujący sposób: $F(n)=K^n$, gdzie $K^n$ oznacza $n$-wymiarową przestrzeń liniową nad ciałem $K$; takie odwzorowanie jest wzajemnie jednoznaczne. Dla każdej takiej przestrzeni ustalmy bazę. Wówczas z każdą macierzą $A$ wymiaru $n\times m$ możemy związać dokładnie jedno przekształcenie liniowe względem ustalonej bazy $F(A)=\varphi_A$. Z algebry liniowej wiemy, że złożenia przekształceń liniowych odpowiadają iloczynowi macierzy reprezentujących te odwzorowania.

Stwierdzenie 2.3.2. Funktor $F\colon{\bf C}\to{\bf D}$ jest izomorfizmem kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy jest wzajemnie jednoznaczna zarówno na obiektach i morfizmach1.

Pojęcie izomorfizmu kategorii jest bardzo restrykcyjne. Rozważmy następujący pouczający przykład.

Przykład 2.3.1. Rozważmy kategorię ${\bf C}$ złożoną z jednego obiektu $O$ oraz identyczności $\operatorname{id}_O$. Kategoria ${\bf D}$ złożona z dwóch obiektów $A$, $B$, identyczności $\operatorname{id}_A$ oraz dwóch izomorfizmów $f\colon A\to B$ oraz $g\colon B\to A$ nie jest izomorficzna z ${\bf C}$ na mocy poprzedniego stwierdzenia (ponieważ zbiory $\operatorname{Hom}({\bf C})$ oraz $\operatorname{Hom}({\bf D})$ są nierównoliczne).

W stwierdzeniu 2.3.1 poszczególne kategorie składały się z obiektów, które nie posiadały różnych od siebie izomorficznych kopii. I chociaż każdą kategorię da się zastąpić kategorią, w której obiekty izomorficzne są utożsamianie2, na ogół nie będziemy zakładać, że dla każdego obiektu $A$, jeżeli $A\cong A'$, to $A=A'$.

W dalszej części zajmować się będziemy jedynie kategoriami lokalnie małymi:

Definicja 2.3.2. Kategorię ${\bf C}$ nazywamy:

Każda kategoria mała jest lokalnie mała. Zwróćmy uwagę, że kategorie konkretne, chociaż nie muszą być małe, zawsze są lokalnie małe – ogół wszystkich funkcji $A\to B$ jest (ograniczonym) zbiorem mocy nieprzekraczającej $|B|^{|A|}$.

Każdy funktor $F\colon{\bf C}\to{\bf D}$ między kategoriami lokalnie małymi wyznacza funkcję \begin{equation}\label{fab}F_{A,B}\colon \operatorname{Hom}_{{\bf C}}(A,B)\to \operatorname{Hom}_{{\bf D}}(F(A),F(B)), \quad F_{A,B}(f)= F(f).\end{equation} Jesteśmy gotowi przedstawić szczególne typy funktorów:

Definicja 2.3.3. Funktor $F\colon{\bf C}\to{\bf D}$ nazywamy:

dla wszystkich obiektów $A,B\in\operatorname{Ob}({\bf C})$.

Zacznijmy od trywialnej obserwacji:

Stwierdzenie 2.3.3. Każdy izomorfizm kategorii jest pełnie wierny.

Stwierdzenie to wynika wprost z przytoczonych definicji oraz stwierdzenia 2.3.2. Stąd też mamy:

Przykład 2.3.2. Dla każdej (niepustej) kategorii ${\bf C}$ identyczność kategorii jest pełnie wierna (jako izomorfizm kategorii).

Funktor wierny nie musi być różnowartościowy na obiektach kategorii, podobnie pełny funktor nie musi być surjekcją w klasie obiektów (można zauważyć, że takie żądane jest bardzo restrykcyjne). Z kolei:

Przykład 2.3.3. Funktor zapominania $U\colon {\bf Vec}\to{\bf Set}$ jest wierny, ponieważ każda para różnych przekształceń liniowych przechodzi na odpowiadające różne funkcje. Funktor $U$ nie jest jednak pełny, bo istnieją funkcje, które nie są przekształceniami liniowymi. Ogólniej, każdy funktor zapominania jest wierny oraz, wyłączając trywialne kontrprzykłady, na ogół nigdy pełny.

Przykład 2.3.4. Funktor przestrzeni dyskretnej $D\colon {\bf Set}\to{\bf Top}$ przyporządkowujący każdemu zbiorowi przestrzeń dyskretną określoną na tym zbiorze jest pełny, gdyż wszystkie dla dowolnych zbiorów $A$, $B$, rodzina funkcji $f\colon A\to B$ ciągłych między przestrzeniami dyskretnymi pokrywa się z rodziną $B^A$ wszystkich funkcji.

Zachodzi pewien związek między wyróżnionymi typami funktorów a różnowartościowością/surjektywnością na morfizmach.

Stwierdzenie 2.3.4. Jeżeli funktor $F\colon {\bf C}\to{\bf D}$ jest surjekcją na morfizmach (tzn. gdy dla każdego morfizmu $g\colon F(A)\to F(B)$ kategorii ${\bf D}$ istnieje morfizm $f\colon A\to B$ kategorii ${\bf C}$, dla którego $g=F(f)$), to jest pełny.

DOWÓD. Załóżmy, że dla funktora $F\colon {\bf C}\to{\bf D}$ dla każdego morfizmu $g\colon F(A)\to F(B)\in \operatorname{Hom}_{{\bf D}}$ kategorii ${\bf D}$ istnieje morfizm $f\colon A\to B$ o własności $g=F(f)$, $F_{A,B}$ jest surjekcją, jako że $F_{A,B}(f)=F(f)=g$.

Podobnie możemy łatwo wykazać, że:

Stwierdzenie 2.3.5. Jeżeli funktor $F\colon {\bf C}\to{\bf D}$ jest różnowartościowy na morfizmach (tj. gdy dla każdej pary morfizmów $f_1,f_2\colon A\to B$ kategorii ${\bf C}$ równość $F(f_1)=F(f_2)$ pociąga $f_1=f_2$), to jest wierny.

Implikacja w drugą stronę nie zachodzi: rozważmy dwie kategorie dyskretne: kategorię ${\bf C}$ złożona z dwóch obiektów oraz kategorię ${\bf 1}$ złożoną z jednego obiektu $1$. Funktor $F\colon{\bf C}\to{\bf 1}$ odsyłający oba obiekty $A,B\in\operatorname{Ob}({\bf C})$ nie jest różnowartościowy, ponieważ $$F(\operatorname{id}_A)=\operatorname{id}_1=F(\operatorname{id}_B),$$ natomiast jest wierny, jako że $\operatorname{Hom}_{{\bf C}}(A,B)=\emptyset$, dla pojedynczych obiektów jedyny morfizm – identyczność – przechodzi (w sposób różnowartościowy) na odpowiadającą identyczność.

Ćwiczenie 2.3.1. Pokaż, że funktor jest różnowartościowy na morfizmach wtedy i tylko wtedy, gdy jest wierny oraz różnowartościowy na obiektach.

Nietrudno sprawdzić, że złożenia zachowują własności wspomnianych funktorów, czemu poświęcone jest poniższe ćwiczenie.

Ćwiczenie 2.3.2. Sprawdź, że złożenie funktorów wiernych jest wierne, natomiast złożenie funktorów pełnych – pełne.

Ćwiczenie 2.3.3. Wykaż, że pełnie wierny funktor $F\colon{\bf C}\to{\bf D}$ jest różnowartościowy na obiektach z dokładnością do izomorfizmu, tj. jeżeli $F(A)\cong F(B)$, to $A\cong B$.

Zapoznamy się z dwoma, w pewnym sensie przeciwstawnymi, funktorami w kategorii grup.

Przykład 2.3.5. Funktor $\Psi\colon {\bf Ab}\to{\bf Grp}$ zanurzenia jest pełnie wierny, ponieważ ${\bf Ab}$ zawiera wszystkie homomorfizmy między grupami abelowymi.

Przykład 2.3.6. Niech dana będzie grupa $G$. Każdej takiej grupie można przyporządkować grupę abelową3 $G/[G,G]$, gdzie dla każdego homomorfizmu grup $\varphi\colon G\to F$ w grupę abelową $F$ istnieje dokładnie jeden homomorfizm $\psi\colon G/[G,G]\to F$, dla którego poniższy diagram

Diagram 2.3.1

Przekształcenia $\pi_G$ oraz $\pi_F$ stanowią naturalne przekształcenia ilorazowe.

Nietrudno sprawdzić, że $\Phi$ jest surjekcją na obiektach kategorii ${\bf Ab}$: dla każdej grupy przemienna $G$ zachodzi $G\cong G/[G,G]$. Tym samym $\Phi$ zachowuje się jak identyczność dla argumentów będących grupami abelowymi. Jednak nie jest to ani funktor pełny, ani wierny: rozważmy dwie podgrupy multiplikatywne kwaternionów: $$G=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}, \quad H=\{1,-1\},$$ gdzie $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ oraz m.in. $$ij=k, \quad ji=-k,\quad jk=i,\quad kj=-i.$$ Można sprawdzić, że abelianizacja grupy $G$ jest izomorficzna z $H\times H$. Wówczas, ponieważ jedynymi odwzorowaniami $H\to G$ są homomorfizmy określone jednoznaczne poprzez równość $\varphi_1(-1)=1$ oraz $\varphi_2(-1)=-1$, natomiast istnieją aż cztery homomorfizmy między $H\to H\times H$, funkcja $F_{H,G}$ nie jest surjekcją na $$\operatorname{Hom}_{{\bf Ab}}(\Phi(H),\Phi(G))=\operatorname{Hom}_{{\bf Ab}}(H,H\times H).$$ Zatem $\Phi$ nie jest funktorem pełnym. Sprawdzenie, że funktor $\Phi$ nie jest wierny, pozostawiamy Czytelnikowi jako ćwiczenie.

Powyższy przykład powróci w dalszej części w innej formie pod nazwą refleksji. Jest on istotny zarówno dla teorii grup, jak i teorii kategorii.

Ćwiczenie 2.3.4. Sprawdź, jakiego typu jest funktory z przykładu 2.2.6.


1 Innymi słowy każdemu obiektowi ${\bf C}$ odpowiada poprzez funktor $F$ dokładnie jeden obiekt kategorii ${\bf D}$ oraz każdemu morfizmowi $f\in\operatorname{Hom}({\bf C})$ – dokładnie jeden morfizm klasy $\operatorname{Hom}({\bf D})$.

2 Niech ${\bf C}$ będzie dowolną kategorią. Rozważmy kategorię ${\bf C}'$, która składa się z klas abstrakcji obiektów kategorii ${\bf C}$ względem relacji izomorficzności $\cong$. Czy odwzorowanie $F\colon{\bf C}\to{\bf C}'$ stanowi funktor?

3 Niech $G$ będzie dowolną grupą. Komutatorem elementów $x,y\in G$ nazywamy wyrażenie $xyx^{-1}y^{-1}$. Komutantem grupy $G$ nazywamy grupę generowaną przez wszystkie komutatory elementów grupy $G$ i oznaczamy symbolem $[G,G]$. Formalnie: $$[G,G]=\langle\{xyx^{-1}y^{-1}: x,y\in G\}\rangle.$$

4 Stwierdzenie to pozostawiamy bez dowodu.

←← Wstęp