Funktory, diagramy, granice

Funktory

W tej sekcji sformalizowane zostanie pojęcie transformacji między kategoriami. „Morfizmy” między kategoriami zachowującymi ich strukturę nazywać będziemy funktorami:

Definicja 2.2.1. Niech dane będą dwie kategorie ${\bf C}$ oraz ${\bf D}$. Funktorem (kowariantnym) $F\colon{\bf C}\to{\bf D}$ nazywamy funkcję1, która każdemu obiektowi $A\in\operatorname{Ob}({\bf C})$ przyporządkowuje obiekt $B\in\operatorname{Ob}({\bf C})$ oraz każdemu morfizmowi $f\colon A\to B$ kategorii ${\bf C}$ morfizm $F(f)\colon F(A)\to F(B)$ tak, że:

  1. $F$ zachowuje złożenia, tj. $F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)$ dla odpowiednich $f,g\in\operatorname{Hom}({\bf C})$,
  2. $F$ zachowuje identyczności: $F(\operatorname{id}_A)=\operatorname{id}_{F(A)}$ dla każdego $A\in\operatorname{Ob}({\bf C})$.

Zwróćmy uwagę, że w definicji funktora również morfizmy muszą zostać przyporządkowane odpowiednim morfizmom – funktory przenoszą nie tylko obiekty między kategoriami, ale także przekształcenia. Definicja, podobnie jak określenie kategorii, jest bardzo szeroka. Zapoznajmy się więc z elementarnymi przykładami funktorów.

Przykład 2.2.1. Dla dowolnej kategorii ${\bf C}$ możemy określić:

Dla małych kategorii utworzonych z częściowych porządków/monoidów można scharakteryzować postać funktorów między tymi kategoriami:

Przykład 2.2.2.

Ćwiczenie 2.2.1. Sprawdź powyższe stwierdzenia.

Przykład 2.2.3. W kategorii ${\bf Set}$ można zdefiniować następujące funktory:

Część rozważanych do tej pory obiektów matematycznych określanych jest na zbiorach – są to zbiory wraz z dodatkową strukturą (np. strukturą grupy, pierścienia, przestrzeni liniowej bądź przestrzeni topologicznej etc.). W kategoriach tego rodzaju morfizmami są odpowiednie funkcje. Dla każdej z wymienionych kategorii możemy wyróżnić tzw. funktor zapominania $U\colon {\bf C}\to{\bf Set}$, który „zapomina” o przylegającej strukturze. Funktor każdemu obiektowi zwraca odpowiadający zbiór, natomiast morfizmowi – odpowiadającą funkcję. Dla przykładu funktor $U\colon{\bf Grp}\to{\bf Set}$ każdej grupie $G$ przyporządkowuje zbiór $G$, natomiast homomorfizmowi grup $\varphi\colon G\to H$ – funkcję $\varphi$. Kategorie o powyższym charakterze nazywamy konkretnymi.

Stwierdzenie 2.2.1. Niech $F\colon{\bf C}\to{\bf D}$ będzie funktorem. $F$ zachowuje izomorfizmy, tj. jeżeli $i\colon A\to A'$ jest izomorfizmem w ${\bf C}$, $F(i)$ jest izomorfizmem między $F(A)$ oraz $F(B)$.

DOWÓD. Wystarczy skorzystać z faktu, że funktory zachowują złożenia oraz identyczności: $$F(i)\circ F(i^{-1})=F(i\circ i^{-1})=F(\operatorname{id}_{A'})=\operatorname{id}_{F(A')},$$ podobnie $F(i^{-1})\circ F(i)=\operatorname{id}_{F(A)}$.

Stwierdzenie przeciwne nie zachodzi w ogólności:

Ćwiczenie 2.2.2. Podaj przykład funktora, dla którego $F(i)$ jest izomorfizmem, natomiast $i$ nie.

Stwierdzenie 2.2.2. Złożenie $G\circ F\colon {\bf C}\to{\bf E}$ funktorów $F\colon{\bf C}\to{\bf D}$ oraz $G\colon{\bf D}\to{\bf E}$ określone jako $$(G\circ F)(f\colon A\to B)=G(F(f))\colon G(F(A))\to G(F(B))$$ jest funktorem.

Każdy funktor $F\colon {\bf C}\to{\bf D}$ indukuje funktor przeciwny $F^{\rm op}\colon{\bf C}^{\rm op}\to{\bf D}^{\rm op}$, który zachowuje się tak samo na obiektach, jak i morfizmach jak $F$.

Jeżeli jesteśmy już przy kategoriach przeciwnych, możemy podać przykłady pewnych funktorów, które – zamiast zachowywać kierunek strzałek – odwracają je. Takie funktory nazywamy kontrawariantnymi.

Definicja 2.2.2. Niech dane będą kategorie ${\bf C}$ oraz ${\bf D}$. Funktor ${\bf C}^{\rm op}\to {\bf D}$ nazywamy funktorem kontrawariantnym.

Mówiąc, że $F\colon{\bf C}\to{\bf D}$ jest funktorem kontrawariantnym, mamy na myśli, że zachodzą następujące warunki:

  1. $F(\operatorname{id}_A)=\operatorname{id}_{F(A)}$,
  2. $F(f\circ g)=F(g)\circ F(f)$,
  3. $F(f\colon A\to B)=F(f)\colon F(B)\to F(A)$.

Dzięki temu zabiegowi nie musimy określać funktora bezpośrednio na kategorii przeciwnej.

Ćwiczenie 2.2.3. Sprawdź, że definicja funktora kontrawariantnego postaci $F\colon {\bf C}\to{\bf D}^{\rm op}$ jest równoważna poprzedniej definicji.

Zgodnie z definicją, funktor przeciwny może być traktowany jako funktor „kontra-kontrawariantny”.

Przykład 2.2.4. Funktor ${}^{\rm op}\colon{\bf C}\to{\bf C}^{\rm op}$ odsyłający kategorię ${\bf C}$ w kategorię przeciwną ${\bf C}^{\rm op}$ (tj. każdemu morfizmowi $f\colon A\to B$ dualny morfizm $f^{\rm op}\colon B\to A$) jest kontrawariantny.

Przykład 2.2.5. Funktor (kontrawariantny) $\mathcal{Q}\colon {\bf Set}\to{\bf Set}$ przyporządkowujący każdemu zbiorowi jego zbiór potęgowy, natomiast każdej funkcji $f\colon A\to B$ – funkcję $\mathcal{Q}(f)\colon \mathcal{Q}(B)\to\mathcal{Q}(A)$ przyporządkowującą każdemu $S \subseteq B$ przeciwobraz $f^{-1}(S)$, nazywamy kontrawariantnym funktorem zbioru potęgowego.

Ćwiczenie 2.2.4. Wykaż, że kategoria ${\bf Rel}$ zbiorów z relacjami jako morfizmami jest samosprzężona, tj, ${\bf Rel}^{\rm op}\cong {\bf Rel}$.

Przykład 2.2.6. Rozważmy kategorię ${\bf Vec}_{\mathbb{R}}$ przestrzeni liniowych nad ciałem liczb rzeczywistych. Wyróżnić możemy kontrawariantny funktor ${\bf Vec}_{\mathbb{R}}\to {\bf Vec}_{\mathbb{R}}$ przyporządkowujący każdej przestrzeni $V$ jej przestrzeń sprzężoną3 $V^{*}$ oraz każdemu odwzorowaniu liniowemu $T\colon V\to W$ przekształcenie sprzężone $T^{*}\colon W^{*}\to V^{*}$ określone następująco: $$T^{*}(\varphi\colon W\to\mathbb{R})=(\varphi\circ T)\colon V\to\mathbb{R}.$$

Przykład 2.2.7. Dla każdej przestrzeni topologicznej $X$ możemy określić pierścień $C(X)$ ciągłych funkcji $f\colon X\to\mathbb{R}$ z działaniami $$(f+g)(x)=f(x)+g(x), \quad (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).$$ Każdej funkcji $f\colon X\to Y$ możemy przyporządkować $C(f)\colon C(Y)\to C(X)$, gdzie dla każdego $q\colon Y\to\mathbb{R}$ określamy $$C(f)(q)\colon X\to\mathbb{R}, \quad C(f)(q)=q\circ f.$$ Tak powstały funktor $C\colon {\bf Top}\to{\bf CRng}$ (gdzie ${\bf CRng}$ stanowi kategorię pierścieni przemiennych) jest kontrawariantny.


1 W przypadku, gdy ogół obiektów tworzy klasę, możemy rozszerzyć pojęcie funkcji o dziedzinie/przeciwdziedzinie będącej klasą.

2 Odwzorowanie $F\colon P\to Q$ zachowuje porządek, jeżeli $a\leqslant b$ pociąga $F(a)\leqslant F(b)$ dla wszystkich $a,b\in P$.

3 Przypomnijmy, że dla każdej przestrzeni liniowej $V$ możemy utworzyć tzw. przestrzeń sprzężoną $V^{*}$: $$V^{*}=\left\{\varphi\colon V\to\mathbb{R}\colon \varphi\text{ jest przekształceniem liniowym.}\right\}.$$

←← Wstęp