Funktory, diagramy, granice

Kategorie dualne, zasada dualności

Do tej pory kategorie były rozważane w odizolowaniu od innych struktur. Przekształcenia obiektów (i morfizmów) jednej struktury w drugą nazywać będziemy funktorami – dokładna definicja pojawi się w tej części skryptu. Zanim jednak przedstawimy to pojęcie, sformułujemy zapowiadaną wcześniej zasadę dualności.

Definicja 2.1.1. Niech ${\bf C}$ będzie dowolną kategorią. Kategorię ${\bf C}^{\rm op}$ złożoną z obiektów kategorii ${\bf C}$, dla której dla każdych obiektów $A,B\in\operatorname{Ob}({\bf C})$ zachodzi1 $\operatorname{Hom}_{{\bf C}^{\rm op}}(A,B)=\operatorname{Hom}_{{\bf C}}(B,A)$, gdzie ponadto zachodzi $$f\circ_{{\bf C}^{\rm op}} g = g\circ_{{\bf C}}f$$ dla wszystkich morfizmów, nazywamy kategorią dualną bądź przeciwną do kategorii ${\bf C}$.

Innymi słowy kategoria dualna powstaje przez „odwrócenie” kierunków strzałek morfizmów. W dalszej części, przy ustalonej kategorii ${\bf C}$, zamiast pary $\operatorname{Hom}_{{\bf C}}$, $\operatorname{Hom}_{{\bf C}^{\rm op}}$ będziemy pisać po prostu $\operatorname{Hom}$ oraz $\operatorname{Hom}^{\rm op}$, podobnie $\circ$/${\circ}^{\rm op}$ zamiast $\circ_{{\bf C}}$/$\circ_{{\bf C}^{\rm op}}$.

Przykład 2.1.1. Jeżeli kategoria ${\bf C}$ utworzona jest ze zbioru częściowo uporządkowanego $(P,\leqslant)$ (patrz przykład 1.1.3), kategorią ${\bf C}^{\rm op}$ przeciwną do ${\bf C}$ jest kategoria utworzona ze zbioru częściowo uporządkowanego $(P,\geqslant)$.

Przykład 2.1.2. Niech $M$ będzie monoidem2. Wówczas możemy utworzyć kategorię ${\bf M}$ w następujący sposób: $$\operatorname{Ob}({\bf M})=\{M\}, \quad \operatorname{Hom}(M,M)=M, \quad \operatorname{id}_M=e, \quad y\circ x = y\cdot x.$$ Kategorią dualną ${\bf M}^{\rm op}$ jest kategoria, dla której zachodzi $$y\circ^{\rm op}x=x\cdot y.$$

Okazuje się, że każde stwierdzenie dotyczące obiektów i morfizmów kategorii ${\bf C}^{\rm op}$ może zostać przetłumaczone na logicznie równoważne zdanie dotyczące własności kategorii ${\bf C}$. Rozważmy następujące stwierdzenie: $${P_{{\bf C}}(X)\equiv \text{dla każdego obiektu }A\in\operatorname{Ob}({\bf C})\text{ istnieje dokładnie jeden morfizm }f\colon A\to X.}$$ Jeżeli zastąpimy w powyższej funkcji zdaniowej obiekty kategorii ${\bf C}$ obiektami kategorii dualnej ${\bf C}^{\rm op}$, podobnie dla morfizmów, uzyskamy analogiczne zdanie dla kategorii przeciwnej: $${P_{{\bf C}^{\rm op}}(X)\equiv \text{dla każdego obiektu }A^{\rm op}\in\operatorname{Ob}({\bf C}^{\rm op})\text{ istnieje dokładnie jeden morfizm }f^{\rm op}\colon A\to X,}$$ które można przetłumaczyć na język kategorii ${\bf C}$, „odwracając” kierunek morfizmów w następujący sposób: $${P_{{\bf C}}^{\rm op}(X)\equiv \text{dla każdego obiektu }A\in\operatorname{Ob}({\bf C})\text{ istnieje dokładnie jeden morfizm }f\colon X\to A.}$$ Zwróćmy uwagę, że własność $P_{{\bf C}}(X)$ jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy $X$ jest obiektem końcowym kategorii ${\bf C}$. Jak wiemy z kategorii ${\bf Set}$, obiektami końcowymi są singletony (patrz przykład 1.4.1). Z kolei własność $P_{{\bf C}}^{\rm op}(X)$ definiuje obiekty początkowe, którym we wspomnianej kategorii jest jedynie zbiór pusty. Widać więc, że na ogół własności $P_{{\bf C}}(X)$ nie są równoważne ${P}_{{\bf C}}^{\rm op}(X)$.

Własność $P_{{\bf C}}(X)$ nazywamy samosprzężoną, jeżeli własność $P_{{\bf C}}^{\rm op}(X)$ jest jej równoważna dla wszystkich $X$. Dla przykładu własność (w dowolnej kategorii) $$P(X) \equiv X \text{ jest obiektem zerowym}$$ jest samosprzężona. Pojęciem samosprzężonym jest np. pojęcie izomorfizmu; co należy rozumieć jako: $f\colon A\to B$ jest izomorfizmem w kategorii ${\bf C}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest izomorfizmem w ${\bf C}^{\rm op}$. Podobnie samosprzężone są identyczności obiektów.

Podobnie możemy tłumaczyć własności dotyczące morfizmów: dla przykładu, jeżeli $Q_{{\bf C}}(f)$ dla $f\colon A\to B$ oznacza $${Q_{{\bf C}}(f)\equiv\text{istnieje morfizm }g\colon B\to A\text{, że zachodzi }g\circ f=\operatorname{id}_A},$$ to własność dualna brzmi: $${Q_{{\bf C}}^{\rm op}(f)\equiv\text{istnieje morfizm }g\colon A\to B\text{, że zachodzi }f\circ g=\operatorname{id}_A},$$ gdzie $f$ jest tym razem typu $f\colon B\to A$. Możemy również konstruować bardziej złożone własności, będące funkcją zdaniową wielu obiektów i wielu morfizmów. Jeżeli własność $P_{{\bf C}}(A,B,\ldots, f,g,\ldots)$ zachodzi dla wszystkich obiektów i morfizmów kategorii ${\bf C}$, mówimy, że kategoria ${\bf C}$ spełnia własność $P$, co zapisujemy jako $P({\bf C})$. Możemy wreszcie przedstawić zasadę dualności:

Jeżeli własność $P$ zachodzi we wszystkich kategoriach, wówczas własność $P^{\rm op}$ zachodzi we wszystkich kategoriach.

Zasada ta wynika z dwóch obserwacji: ${{\bf C}^{\rm op}}^{\rm op}={\bf C}$ oraz równoważności: $$P^{\rm op}({\bf C}) \text{ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy }P({\bf C}^{\rm op}).$$ Konsekwencje tej zasady są doniosłe. Ponieważ każde stwierdzenie w języku teorii kategorii ma dwa równoważne stwierdzenia, dowód ogólnej własności obiektów/morfizmów pociąga za sobą dowód własności dualnej.

Ćwiczenie 2.1.1. Wykaż, że:

  1. $f\colon A\to B$ jest monomorfizmem w kategorii ${\bf C}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $f^{\rm op}\colon B\to A$ jest epimorfizmem w kategorii ${\bf C}^{\rm op}$,
  2. dla dowolnych obiektów $X,Y\in\operatorname{Ob}({\bf C})$ obiekt $Z$ jest produktem $X$ i $Y$ (wraz z morfizmami $\pi_1,\pi_2$) wtedy i tylko wtedy, gdy $Z$ jest koproduktem tych obiektów.

Przykład 2.1.3. Przytoczmy stwierdzenie 1.2.2:

Jeżeli $g\circ f$ jest monomorfizmem, to $f$ jest monomorfizmem.

Dualne stwierdzenie brzmi zatem:

Jeżeli $f\circ g$ jest epimorfizmem, to $f$ jest epimorfizmem.

Dowód pierwszej własności na mocy zasady dualności implikuje również drugi rezultat.

Pojęcia dualne w sensie teorii kategorii w języku angielskim często mają przedrostek „co-”, np. product/coproduct, reflective subcategory/coreflective subcategory etc. Tym samym comonomorphism oznaczałby epimorphism3.

Na ogół kategorie ${\bf C}$ znacznie różnią się od swoich kategorii dualnych. Jeżeli jednak zachodzi równość ${\bf C}={\bf C}^{\rm op}$, kategorię nazywamy samosprzeżoną.

Stwierdzenie 2.1.1. Każda kategoria dyskretna jest samosprzężona.

Dla dowodu powyższego stwierdzenia wystarczy zauważyć, że jedynymi morfizmami w takich kategoriach, z definicji kategorii dyskretnych, są identyczności.

Ćwiczenie 2.1.2. Podaj przykład nietrywialnej (nieskończonej, niedyskretnej) kategorii samosprzężonej.


1 Zapis $\operatorname{Hom}_{{\bf C}}(A,B)$ oznacza klasę morfizmów $A\to B$ w kategorii ${\bf C}$, natomiast $f\circ_{{\bf C}}g$ – złożenie morfizmów $f$ oraz $g$ w kategorii ${\bf C}$.

2 Zbiór $S$ wraz z łącznym działaniem $\cdot\colon S\times S\to S$ nazywamy półgrupą. Jeżeli w $S$ występuje ponadto element neutralny $e\in S$, tj. element spełniający $a\cdot e = a=e\cdot a$ dla wszystkich $a\in S$, półgrupę $S$ nazywamy monoidem.

3 Czy nut oznacza to samo co coconut?

←← Wstęp