Kategorie, morfizmy, produkty

Obiekty początkowe i końcowe

W tej części poznamy specjalne obiekty kategorii oraz przyjrzymy się nieco bliżej strukturze $\operatorname{Hom}(A,B)$ morfizmów między ustalonymi obiektami $A$ oraz $B$.

Definicja 1.4.1. Obiekt $I$ nazywamy obiektem początkowym, jeżeli dla każdego obiektu $X$ istnieje dokładnie jeden morfizm $I\to X$. Obiekt $T$ nazywamy obiektem końcowym, jeżeli dla każdego obiektu $X$ istnieje dokładnie jeden morfizm $X\to T$. Obiekt $O$ nazywamy obiektem zerowym, jeżeli jest zarówno początkowy, jak i końcowy.

Stwierdzenie 1.4.1. Jeżeli obiekt początkowy (bądź końcowy) w kategorii istnieje, to jest on jedyny z dokładnością do izomorfizmu.

Ćwiczenie 1.4.1. Uzasadnij powyższe stwierdzenie.

Przykład 1.4.1. W kategorii:

Ćwiczenie 1.4.2. Dla każdego pierścienia $R$ skonstruuj odwzorowanie $\mathbb{Z}\to R$ i wykaż jedyność takiego odwzorowania.

Wskazówka: Porównaj przykład 1.2.3.

Z poprzedniego stwierdzenia jest jasne, że kategorie zbiorów czy przestrzeni topologicznych nie posiadają obiektu zerowego. Ogólniej, jeżeli $I\not\cong T$, to kategoria nie posiada obiektów zerowych. Obiekty zerowe często występują w kategoriach algebraicznych, szczególnie w tzw. ciągach dokładnych1.

Przykład 1.4.2. W kategorii ciał ${\rm Fld}$ nie istnieje obiekt początkowy/zerowy. W podkategorii ciał ${\rm Fld}_p$ charakterystyki $p$ obiektem początkowym jest ciało skończone $\mathbb{Z}_p$.

By dowieść pierwszego stwierdzenia, wystarczy zauważyć, że nie istnieją homomorfizmy ciał dla ciał $F$ oraz $K$ o różnej charakterystyce. Istotnie, jeżeli $\varphi\colon F\to K$ jest morfizmem, gdzie $\operatorname{char} F = p$ dla pewnej liczby pierwszej $p\in\mathbb{P}$, to skoro $$\underbrace{1+\ldots+1}_{p\text{ razy}}=0,$$ to $$0=\varphi(0)=\varphi(p)=\varphi(p\cdot 1)=\underbrace{\varphi(1)+\ldots+\varphi(1)}_{p\text{ razy}}=\underbrace{1+\ldots+1}_{p\text{ razy}}.$$ Stąd $\operatorname{char} K = p$. Jeżeli ciało $F$ było charakterystyki $0$, to, jako przekształcenie różnowartościowe, dla każdego $n\in\mathbb{N}$ nie może zachodzić $\varphi(n)=0$, w przeciwnym razie $n=0$. Zatem i w tym przypadku $\operatorname{char} F = 0 = \operatorname{char} K$.

Zatem gdyby $I$ było obiektem początkowym charakterystyki $p$, nie istniałby morfizm $I\to F$ dla ciała $F$ o innej charakterystyce wbrew definicji obiektu początkowego. Analogicznie możemy argumentować dla obiektu końcowego. Kategoria ${\rm Fld}$ nie posiada żadnego z obiektów tego rodzaju.

Jeżeli jednak zawęzimy się do kategorii ciał o ustalonej charakterystyce $p$ dla pewnej liczby pierwszej, możemy pokazać, że $\mathbb{Z}_p$ jest obiektem zerowym. Ustalmy ciało $F$ charakterystyki $p$. Wówczas jedynym homomorfizmem ciał jest zanurzenie $\varphi\colon \mathbb{Z}_p\to F$, które jednoznacznie określone jest warunkami $$\varphi(0)=0, \quad \varphi(1)=1.$$

Ćwiczenie 1.4.3. Scharakteryzuj obiekty początkowe/końcowe/zerowe (o ile istnieją) w kategorii utworzonej na zbiorze częściowo uporządkowanym w przykładzie 1.1.3.

Dla każdych dwóch obiektów $A$ oraz $B$ kategorii ${\rm C}$ możemy wyróżnić podklasę $\operatorname{Hom}(A,B)\subseteq \operatorname{Hom}({\bf C})$ morfizmów $A\to B$. W wielu przypadkach podklasa ta będzie tworzyć zbiór. W szczególnym przypadku, gdy $A=B$, możemy mówić o endomorfizmach obiektu: $$\operatorname{End}(A)=\operatorname{Hom}(A,A).$$ Podklasą endomorfizmów są tzw. automorfizmy – izomorfizmy obiektu w siebie. W ogólnym przypadku badanie struktury endomorfizmów/automorfizmów jest trudne. Struktura ta bowiem zależy zarówno od całej kategorii, która „wymusza” pewne własności endomorfizmów, a także od specyfiki samego obiektu tej kategorii.

Przykład 1.4.3. Zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ traktowany jako obiekt:

Zdarza się, że struktura endomorfizmów/automorfizmów zależy od przyjętej aksjomatyki. Rozważmy „pośredni” przykład kategorii grup:

Przykład 1.4.4. Rozważmy grupę addytywną $(\mathbb{R},+)$ w kategorii ${\rm Grp}$. Jeżeli $\varphi\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest izomorfizmem, można pokazać, że dla każdych $q\in\mathbb{Q}$ oraz $x\in \mathbb{R}$ zachodzi $\varphi(qx)=q\varphi(x)$. Tym samym każdy taki automorfizm jest jednocześnie automorfizmem przestrzeni $\mathbb{R}$ nad ciałem $\mathbb{Q}$. Przy założeniu pewnika wyboru dla doboru dwóch różnych (nieprzeliczalnych) baz Hamela $(e_i)_{i\in I}$, $(e_i')_{i\in I}$ przekształcenie $\varphi$ wyznaczone jednoznacznie warunkiem $$f(e_i)=e_i',\quad i\in I$$ jest automorfizmem $(\mathbb{R},+)$. Zbiór wszystkich automorfizmów jest więc mocy $2^{\mathfrak{c}}$.

Sytuacja drastycznie zmienia charakter, jeżeli aksjomat wyboru nie zachodzi. Dla przykładu, przy założeniu aksjomatu determinacji3, każdy automorfizm $\mathbb{R}$ jest z konieczności ciągły, a każdy taki automorfizm jest postaci $\varphi(x)=ax$ dla pewnego $a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Tym samym grupa automorfizmów ciała $\mathbb{R}$ jest izomorficzna z grupą $(\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot)$ mocy $\mathfrak{c}$.

Powróćmy w tym miejscu do obiektów końcowych. Dla każdego obiektu początkowego $I$ zachodzi w trywialny sposób $$\operatorname{Aut}(I)=\operatorname{End}(I)=\{\operatorname{id}_I\}.$$ Zachodzi pewien związek między produktami a obiektami końcowymi kategorii:

Stwierdzenie 1.4.2. Jeżeli kategoria posiada obiekt końcowy $T$, to pusty produkt $\prod_{\emptyset}$ jest izomorficzny z $T$.

By udowodnić to stwierdzenie, wprowadzimy pojęcia diagramu oraz granicy diagramu.


1 Pojęcie to nie będzie w tym momencie określane.

2 Z kolei dla ciała $\mathbb{C}$ możemy na gruncie pewnika wyboru otrzymać $2^{\mathfrak{c}}$ różnych automorfizmów tego ciała, z czego tylko dwa – identyczność oraz sprzężenie – są ciągłe.

3 Nie będziemy wchodzić w tym miejscu w detale.

←← Wstęp