Kategorie, morfizmy, produkty

Produkty, koprodukty

W różnych gałęziach matematyki możemy spotkać się z produktem – czy to iloczynem kartezjańskim zbiorów, produktem Tichonowa przestrzeni topologicznych czy produkcie grup algebraicznych. Okazuje się, że operację tworzenia produktu daje się wyabstrahować na gruncie teorii kategorii, ujmując ją za pomocą charakteryzacji wyrażonej w języku morfizmów. Zdefiniujemy produkt obiektów poprzez tak zwaną własność uniwersalną:

Definicja 1.3.1. Produktem obiektów $X_1$, $X_2$ nazywamy obiekt $X$ oznaczany jako $X_1\times X_2$ wraz z parą morfizmów $\pi_1\colon X\to X_1$, $\pi_2\colon X\to X_2$, nazywanych naturalnymi rzutowaniami, spełniającą następującą własność uniwersalną: dla każdego obiektu $Y$ oraz pary morfizmów oraz pary morfizmów $f_1\colon Y\to X_1$, $f_2\colon Y\to X_2$ istnieje dokładnie jeden taki morfizm $f\colon Y\to X$, że poniższy diagram

Diagram 1.3.1

jest przemienny.

Zauważmy, że sam obiekt $X_1\times X_2$ nie stanowi produktu: definicja uwzględnia obiekt wraz z parą morfizmów. Definicję możemy rozszerzyć na dowolną niepustą1 rodzinę obiektów $(X_i)_{i\in I}$: produktem rodziny obiektów $(X_i)_{i\in I}$ (oznaczanym jako $\prod_{i\in I}X_i$) nazywamy taki obiekt $X$ wraz z rodziną morfizmów $(\pi_i)_{i\in I}$, gdzie $\pi_i\colon X\to X_i$, że dla każdego obiektu $Y$ oraz rodziny morfizmów $(f_i)_{i\in I}$, $f_i\colon Y\to X_i$, istnieje dokładnie jeden taki morfizm $f\colon Y\to X$, dla którego poniższy diagram jest przemienny:

Diagram 1.3.2s

Innymi słowy, postulujemy istnienie dokładnie jednego morfizmu spełniającego $f_i=\pi_i\circ f$ dla każdego $i\in I$.

Należałoby się upewnić, że tak postawiona definicja zgadza się z konkretnymi realizacjami produktu w odpowiednich kategoriach.

Przykład 1.3.1. W kategorii zbiorów ${\rm Set}$ produkt w powyższym sensie pokrywa się z produktem zbiorów: dla dowolnej rodziny $(X_i)_{i\in I}$ określamy $$\prod_{i\in I}X_i=\left\{(x_i)_{i\in I}\colon \forall_{i\in I}\, x_i\in X_i\right\}$$ wraz z projekcjami $(\pi_i)_{i\in I}$, $\pi_j\colon\prod_{i\in I}X_i\to X_j$ zadanymi jako $$\pi_j\left((x_i)_{i\in I}\right)=x_j.$$ Dla każdego zbioru $Y$ oraz rodziny funkcji $(f_i)_{i\in I}$, $f\colon Y\to X_i$ przekształcenie $f\colon Y\to\prod_{i\in I}X_i$ postaci $$f(y)=\left(f_i(y)\right)_{i\in I}$$ jest jedynym odwzorowaniem spełniającym równość $f_i=\pi_i\circ f$ dla każdego $i\in I$.

Przykład 1.3.2. Dla dowolnej rodziny przestrzeni topologicznych w kategorii ${\rm Top}$ można utworzyć produkt (jako zbiór), wyposażając go w najmniejszą topologię, przy której wszystkie rzutowania są ciągłe. Taka topologia nosi nazwę topologii produktowej i spełnia abstrakcyjną własność uniwersalną produktu.

W poprzedniej części skonstruowaliśmy małą kategorię na podstawie zbioru częściowo uporządkowanego. I dla takich kategorii pojęcie produktu ma (znany) sens:

Przykład 1.3.3. Niech $(P,\leqslant)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym, natomiast ${\rm C}$ – kategorią skonstruowaną tak jak w przykładzie 1.1.3. Niech $x,y\in P$ będą dwoma dowolnymi elementami. Załóżmy, że $z=x\times y$ jest produktem elementów $x,y\in P$ w sensie definicji produktu. Wówczas istnieje para morfizmów $z\to x$ oraz $z\to y$, tj. $z\leqslant x$ oraz $z \leqslant y$. Ponadto dla każdej pary $w\to x$ oraz $w\to y$ (a więc $w\leqslant x,y$) istnieje dokładnie jeden2 morfizm $w\to z$, tj. $w\leqslant z$.

A zatem dla każdego elementu $w\in P$ mniejszych wspólnie od $x$, $y$, element $w$ nie przekracza $z$. Jest to nic innego jak definicja kresu dolnego dwóch elementów zbioru częściowo uporządkowanego. Produkt w sensie teoriokategoryjnym pokrywa się więc z kresem dolnym, tj. $x\times y=\inf\{x,y\}$.

Łatwo sprawdzić, że, na tej samej zasadzie, dla podzbioru $A\subseteq P$ produkt $\prod_{a\in A} a$ równy jest $\inf A$.

Z powyższego przykładu można odczytać m.in., że przekrój zbiorów $A\cap B\subseteq X$ jest produktem w zbiorze potęgowym $\mathcal{P}(X)$ zbioru $X$. Podobnie największy wspólny dzielnik ${\rm NWD}(n_1,\ldots,n_k)$ liczb naturalnych $n_1,\ldots,n_k$ jest produktem w zbiorze częściowo uporządkowanym $(\mathbb{N},|)$, gdzie $|$ stanowi relację podzielności.

Nie zawsze kres dolny w zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje. Tym samym nie w każdej kategorii dla wszystkich obiektów istnieje ich produkt.

Przykład 1.3.4. Rozważmy kategorię ciał ${\rm Fld}$. Niech $K$ będzie dowolnie ustalonym ciałem. Przypuśćmy, że istnieje produkt $K\times K$ wraz z parą naturalnych rzutowań $\pi_1,\pi_2\colon K\times K\to K$. Rozważmy parę morfizmów $({\rm id}_K,{\rm id}_K)$; rozkłada się ona względem $\pi_1,\pi_2$ zgodnie z poniższym przemiennym diagramem:

Diagram 1.3.3

Ponieważ ${\rm id}_K$ jest epimorfizmem, na mocy stwierdzenia 1.2.4 $\pi_1,\pi_2$ również są epi, a więc jako zanurzenia ciał (patrz: ćwiczenie 1.2.5) muszą być izomorfizmami. Zatem $$\pi_1={\rm id}_K=\pi_2 \quad \text{oraz}\quad K\times K \cong K.$$ Korzystając z własności uniwersalnej produktu, dla dowolnych zanurzeń ciał $\varphi_1,\varphi_2\colon L\to K$ istnieje jedyny taki homomorfizm ciał $\varphi\colon L\to K\times K$, że $$\varphi_1=\pi_1\circ \varphi=\varphi=\pi_2\circ\varphi=\varphi_2$$ jako że $\pi_1,\pi_2$ są w rzeczywistości identycznościami $K$. A zatem każde dwa homomorfizmy ciał $L\to K$ muszą się pokrywać.

W szczególności dla $L=K=\mathbb{C}$ z powyższego wynikałoby, że nie istnieje nietrywialny automorfizm ciała liczb zespolonych, co jest sprzeczne z istnieniem sprzężenia $z\mapsto\overline{z}$.

O kategoriach, w których dla dowolnej rodziny obiektów istnieje produkt, mówimy, że posiadają produkty. Zaznaczmy także, że produkt, o ile istnieje, jest zawsze jednoznacznie wyznaczony. Dokładniej rzecz ujmując:

Stwierdzenie 1.3.1. Załóżmy, że dla rodziny obiektów $(X_i)_{i\in I}$ istnieją dwa produkty $X, X'$ spełniające własność uniwersalną produktu. Wówczas $X\cong X'$.

DOWÓD. Niech $(\pi_i)_{i\in I}$ oraz $(\pi_i')_{i\in I}$ będą naturalnymi rzutowaniami odpowiednio dla $X$ oraz $X'$. Rozważmy następujący diagram:

Diagram 1.3.4

Z określenia produktu powyższy diagram jest przemienny (dla doboru $Y=X'$ oraz $f_i=\pi_i'$ dla prawej strony z własności produktu $X$ oraz $Y=X$, $f_i=\pi_i$ z własności produktu $X'$ dla lewej strony), ponadto funkcja $f\colon X'\to X$ spełniająca $\pi_i'\circ f=\pi_i$ dla każdego $i\in I$ wyznaczona jest w sposób jednoznaczny. Na podobnej zasadzie istnieje jedyne $g\colon X\to X'$, dla którego zachodzi tożsamość $\pi_i\circ g =\pi_i'$, $i\in I$. Łącząc powyższe równości, uzyskujemy $$\pi_i\circ{\rm id}_X = \pi_i = \pi_i'\circ g = (\pi_i \circ f)\circ g = \pi_i \circ(f\circ g).$$ Zatem, ponieważ zarówno dla morfizmu $h={\rm id}_X$, jak i $h=f\circ g$, diagram

Diagram 1.3.5

jest przemienny dla każdego $i\in I$, to z jedyności $h$ (dla doboru $f_i=\pi_i$ z własności uniwersalnej produktu) musi zachodzić ${\rm id}_X = f\circ g$. Analogicznie zachodzi ${\rm id}_{X'}=g\circ f$, a więc $X\cong X'$.

Powyższy fakt uzasadnia stosowanie jednego symbolu $\prod_{i\in I}X_i$ dla produktu rodziny obiektów, co zagwarantowane jest dzięki jedyności postulowanego morfizmu $f$ o własności $f_i=\pi_i\circ f$ dla każdego $i\in I$.

Tak jak iloczyn kartezjański, produkt w sensie teorii kategorii jest łączny. Dokładniej:

Ćwiczenie 1.3.1. Dla dowolnych obiektów $X,Y,Z$ zachodzi $(X\times Y)\times Z\cong X\times (Y\times Z)$, o ile produkty te istnieją.

Wskazówka: Rozważ następujący diagram:

Diagram 1.3.6

gdzie morfizmy zaznaczone przerywaną strzałką są jedynymi morfizmami spełniającymi własność uniwersalną produktu (dla doboru odpowiednich obiektów i morfizmów). Wykaż następujące równości: $$q_i\circ b_2\circ (f\circ g)=g_i\circ b_2\circ {\rm id}_{(X\times Y)\times Z},\quad i\in\{1,2\}.$$

Ćwiczenie 1.3.2. Wykaż, że produkt jednoelementowej rodziny postaci $\prod\{X\}$ jest izomorficzny z $X$. Czy zachodzi równość $\prod\{X\}=X$?

Tak jak pojęcie epimorfizmu było, w pewnym sensie, pojęciem dualnym dla pojęcia monomorfizmu, tak i w przypadku pojęcia produktu możemy mówić o pojęciu dualnym, „odwracając” kierunki morfizmów. Tym pojęciem jest koprodukt.

Definicja 1.3.2. Koproduktem rodziny obiektów $(X_i)_{i\in I}$ (oznaczanym jako $\coprod_{i\in I}X_i$) nazywamy taki obiekt $X$ wraz z rodziną morfizmów $(\iota)_{i\in I}$ zwanych naturalnymi włożeniami, gdzie $\iota_i\colon X_i\to X$, że dla każdego obiektu $Y$ oraz rodziny morfizmów $(f_i)_{i\in I}$, $f_i\colon X_i\to Y$, istnieje dokładnie jeden taki morfizm $f\colon X\to Y$, dla którego poniższy diagram

Diagram 1.3.7

jest przemienny, tj. $f_i=f\circ \iota_i$ dla każdego $i\in I$.

Dowody dotyczące produktów daje się „przetłumaczyć” na dowody dla obiektów dualnych, wykorzystując zasadę dualności, o której będzie mowa w dalszej części tego skryptu.

Ćwiczenie 1.3.3. Wykaż, że koprodukt w kategoriach ${\rm Set}$, ${\rm Top}$ pokrywa się z sumą rozłączną zbiorów/przestrzeni.

Przypomnijmy, że sumę rozłączną rodziny zbiorów $(X_i)_{i\in I}$ określić możemy jako $$\coprod_{i\in I}X_{i}=\bigcup_{i\in I}\left\{(x,i)\colon x\in X_{i}\right\},$$ gdzie dodatkowo zadać możemy rodzinę włożeń $(\iota_i)_{i\in I}$: $$\iota_i\colon X_i\to\coprod_{i\in I}X_{i}, \quad \iota_i(x)=(x,i), \quad i\in I.$$ Dla rodziny przestrzeni topologicznych na powyższym zbiorze możemy wprowadzić topologię spełniającą dla każdego $i\in I$ następujący warunek: zbiór $\iota_{i}[X_{i}]$ jest otwarty w $\coprod_{j\in I}X_j$ oraz, traktowany jako podprzestrzeń sumy rozłącznej, jest homeomorficzny z $X_i$. Innymi słowy, możemy określić na $\coprod_{i\in I}X_{i}$ największą topologię, dla których włożenia $\iota_i$ są ciągłe dla każdego $i\in I$.

Ćwiczenie 1.3.4. Niech $(P,\leqslant)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym, niech ponadto kategoria ${\rm C}$ określona będzie jak w przykładzie 1.1.3. Wykaż, że dla $A\subseteq P$ zachodzi równość $$\coprod_{a\in A}a=\sup A,$$ o ile kres górny $A$ istnieje.


1 Póki co, bez dodatkowego pojęcia obiektu końcowego, nie jesteśmy w stanie określić, czym byłby pusty produkt w danej kategorii.

2 Zauważmy, że jedyność jest zagwarantowana z konstrukcji kategorii.

←← Wstęp