Kategorie, morfizmy, produkty

Pojęcie kategorii

Nie tracąc czasu na zbędne spekulacje, możemy przejść do formalnej definicji kategorii, a brzmi ona następująco:

Definicja 1.1.1. Kategorią $\bf{C}$ nazywamy strukturę złożoną z:

  1. klasy ${\rm Ob}(\bf{C})$, której elementy nazywamy obiektami,
  2. klasy ${\rm Hom}(\bf{C})$, której elementami są morfizmy $f\colon A\to B$, gdzie $A$ jest obiektem zwanym dziedziną, natomiast $B$ – obiektem zwanym przeciwdziedziną,
  3. operacji dwuargumentowej $\circ$ zwanym składaniem $g\circ f$ morfizmów $f\colon A\to B$, $g\colon B\to C$ spełniającym dwa warunki:
    • jeżeli $f\colon A\to B$, $g\colon B\to C$ oraz $h\colon C\to D$, to $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ (łączność),
    • dla każdego obiektu $A$ istnieje morfizm ${\rm id}_A$ zwany identycznością, dla którego $f\circ {\rm id}_A=f$ oraz $g\circ{\rm id}_B=g$ dla każdych morfizmów $f\colon A\to B$ oraz $g\colon B\to A$.

Innymi słowy kategoria składa się z pewnych obiektów oraz morfizmów między obiektami, dla których zachodzi łączne prawo składania morfizmów. Zauważmy, że ta dosyć abstrakcyjna definicja nie określa, czym powinny być obiekty! Co więcej, mimo nazewnictwa, morfizmy wcale nie muszą być funkcjami (chociaż, przyznajmy, na ogół będą).

Ćwiczenie. Sprawdź, że w dowolnej kategorii identyczność jest wyznaczona w sposób jednoznaczny.

Przekonamy się za moment, że bogactwo różnorodnych kategorii jest wprost niewyobrażalne. Przed tym jednak przekonamy się, że znane nam struktury matematyczne tworzą kategorie.

Przykład 1.1.1. Możemy wyróżnić podstawowe kategorie takie jak:

Oczywiście, powyższa lista nie jest kompletna. Czytelnik łatwo sprawdzi, że morfizmy każdej z wymienionych kategorii są domknięte na operację składania (np. złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą). O morfizmach możemy w powyższych przypadkach myśleć jako przekształceniach zachowujących strukturę.

Na ogół przy zadeklarowanej klasie obiektów wybór morfizmów jest jasny. Zdarza się jednak, że dla tej samej klasy obiektów możemy wybrać inne morfizmy, tworząc tym samym inne klasy: w klasie przestrzeni metrycznych za morfizmy możemy wybrać:

Nie powinniśmy jednak myśleć o morfizmach jedynie jako funkcjach. Przytoczymy w tym momencie dwa pouczające przykłady.

Przykład 1.1.2. Rozważmy dowolny zbiór $X$. Utworzymy kategorię $\bf{C}$ w następujący sposób: niech ${\rm Ob}({\bf{C}})=X$ (a więc każdy punkt zbioru jest obiektem) oraz $${\rm Hom}({\bf{C}})=\left\{{\rm id}_x\colon x\in X\right\},$$ tj. jedynymi morfizmami są identyczności. Czytelnik może łatwo sprawdzić, że wszystkie warunki definicji kategorii są spełnione (w sposób trywialny). Kategorie, w których jedynymi morfizmami są identyczności, nazywamy dyskretnymi.

Przykład 1.1.3. Niech $P$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym relacją1 $\leqslant$. Podobnie jak poprzednio, niech klasą obiektów będzie zbiór $P$. Deklarujemy, że dla każdych dwóch elementów $x,y\in P$ istnieje dokładnie jeden morfizm $a\to b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\leqslant b$. Zwrotność relacji porządku gwarantuje istnienie identyczności, przechodniość natomiast – prawo składania morfizmów. Jak widać w tym przypadku, morfizmy nie stanowią funkcji.

Wygodną formę przedstawiania morfizmów jest diagram, który pozwala zilustrować złożenia, dla przykładu:

Diagram 1.1.1

Zauważmy, że możliwe złożenie $g\circ f$, gdzie $f\colon A\to B$ oraz $g\colon B\to C$ na pierwszy rzut oka wydaje się „odwrócone”, tj. niezgodne z kierunkiem strzałek, natomiast jeżeli przyjrzymy się dziedzinom i przeciwdziedzinom, zauważymy, że złożenia należy istotnie czytać „od końca”. Czytelnik powinien się przyzwyczaić do tego stanu rzeczy.

Podstawową własnością diagramu jest jego przemienność:

Definicja 1.1.2. Mówimy, że diagram

Diagram 1.1.2

jest przemienny, jeżeli $h=g\circ f$.

Jeżeli diagram nie jest przemienny, może się zdarzyć, że $h\neq g\circ f$.

Powyższą definicję możemy oczywiście na większą liczbę przekształceń, w innych konfiguracjach. Dla przykładu przemienność diagramu:

Diagram 1.1.3

oznacza równość $g\circ f=k\circ h$. Możemy dzięki temu dorysować kolejną strzałkę $p\colon A\to D$, która spełnia $$g\circ f=p=k\circ h,$$ zachowując przemienność diagramu. Czytelnik być może rozpoznaje podstawowy fakt z algebry grup zwanym pierwszym twierdzeniem o izomorfizmie grup, skrótowo zawartym w przemiennym diagramie:

Diagram 1.1.4

gdzie $\varphi\colon G\to H$ jest homomorfizmem grup „na”, $\pi\colon G\to G/\ker \varphi$ – przekształceniem ilorazowym, natomiast $\psi$ – jedynym takim homomorfizmem, że $\psi \circ \pi = \varphi$.


1 Relacja $\leqslant$ na zbiorze $P$ jest częściowym porządkiem, jeżeli dla wszystkich $x,y,z\in P$ zachodzą następujące warunki:

  1. $x\leqslant x$ (zwrotność),
  2. $(x\leqslant y \wedge y\leqslant x) \Rightarrow x=y$ (słaba antysymetria),
  3. $(x\leqslant y \wedge y\leqslant z) \Rightarrow x\leqslant z$ (przechodniość).